La loi de Kleiber

Une équipe américano-argentine vient de décrire un nouveau titanosaure, dont 45 % du squelette avaient été trouvés entre 2005 et 2009 en Patagonie. Un fémur (1,90 m de long) et un humérus (1,60 m de long) ont permis d’estimer la masse de ce dinosaure : il aurait pesé 59,3 tonnes pour 26 mètres de long. C’est un nouveau record !

© Museum d'Histoire Naturelle d'Aix en Provence - http://www.museum-aix-en-provence.org/fiche_titanosaure.htm
© Museum d’Histoire Naturelle d’Aix en Provence – http://www.museum-aix-en-provence.org/fiche_titanosaure.htm

Cette brève d’actualité a retenu mon attention car il s’agit d’un record. Mais existe-t-il des facteurs « physiques » limitant la taille des animaux ? Une approche peut être faite avec des lois d’échelle.

Imaginons que l’on augmente les dimensions d’un être vivant : le problème est d’estimer comment varient les influences de ses caractéristiques physiques (taille, volume, masse…).

Par exemple, en prenant un modèle d’être vivant sphérique de rayon r, on constate que sa surface S varie proportionnellement à r2 et son volume V à r: comment varie le métabolisme d’un tel être si le rayon est multiplié par 2, sachant qu’il produit de l’énergie dans le volume V de son corps (qui est alors multiplié par 8) mais que les échanges avec le milieu extérieur ont lieu à travers sa surface S (qui elle est alors multipliée par 4) ?

(pour une sphère : S = 4 π r2 et V = 4/3 π r3

Mais un être vivant a une morphologie beaucoup plus complexe qu’une sphère … alors comment faire ?

© William Warby - https://www.flickr.com/photos/wwarby/2404607215/
© William Warby – https://www.flickr.com/photos/wwarby/2404607215/

Concentrons-nous sur un cas précis : un mammifère terrestre ne peut exister que si ses muscles sont capables de mettre son corps en mouvement. Quelle est alors la relation entre la puissance musculaire P que doit développer l’animal et sa masse M ?

En faisant des études statistiques pour différentes espèces, un physiologiste suisse, Max Kleiber (1893 – 1976), a constaté que P était proportionnelle à M3/4.

Max Kleiber - http://animalscience.ucdavis.edu/memorial/MaxKleiber.gif
Max Kleiber – http://animalscience.ucdavis.edu/memorial/MaxKleiber.gif

Pourquoi ? Là intervient le rôle du physicien ! Assimilons un muscle à un cylindre de longueur l et de diamètre d :

– des études d’élasticité, observant les déformations subies par un corps soumis à une force sans qu’il se rompe, montrent que le diamètre d doit être proportionnel à l2/3.

– la puissance développée par un muscle dépend de sa section : elle est proportionnelle à d2.

– la masse M est proportionnelle au volume V, donc à ld2 soit à d2/3 d2 = d8/3 soit d proportionnel à M3/8.

On constate alors que la puissance est proportionnelle à M3/4 :

P = k S = k’ d2 = k » (M3/8)2 = k » M3/4.

La puissance par unité de masse p = P/M est alors proportionnelle à M-1/4 : elle diminue avec M (p = 4,1M-0,25 pour les organismes évolués, de température proche de 39 °C).

Contrairement aux grands animaux, les petits peuvent ainsi sauter plusieurs fois leur taille.

Avec le même type de raisonnement, en tenant compte de la fréquence cardiaque et du nombre maximal de battements qu’un cœur peut effectuer, nous pouvons relier l’espérance de vie à la masse.

Ainsi un mammifère « lourd » a une plus grande espérance de vie : celle de notre titanosaure se serait située entre 110 et 160 ans !

L’homme est au-dessus du modèle grâce à la médecine et à l’hygiène de vie : en appliquant la loi à un homme de 70 kg, on trouve une espérance de vie entre 25 et 30 ans, proche de celle de l’homme préhistorique. La courbe ajustée fait ainsi abstraction du cas particulier de l’homme.

Attention quand même : ce type d’étude compare les valeurs moyennes de différentes espèces, mais ne s’occupe pas des disparités parmi les représentants d’une même espèce. Ne pensez pas que devenir obèse allongerait votre espérance de vie !

Sébastien Martinez

Sources

Site : du magazine « Pour la science » : http://www.pourlascience.fr

Livre : Physique pour les sciences de la vie, tome 1 , Bouyssy, Davier et Gatty, coll. Dia Université, Belin.

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