Aleph, ou le nombre qui se mesure à l’infini. En 1889 le mathématicien Allemand, Georg Cantor, s’intéresse aux ensembles de nombre et comment les dénombrer. Il va pour cela développer plusieurs outils comme le théorème de Cantor, la diagonale de Cantor ou encore le nombre Aleph, qui sont toujours utiles aux mathématiciens aujourd’hui. Son intérêt pour l’infini le conduira à faire des découvertes intrigantes qui mènera certain de ses pairs, à son époque, à traiter ses travaux de trop « modernes ».
Georg Cantor s’intéresse d’abord aux ensembles des naturels, des relatifs et des rationnels. En les étudiant il remarque que ces ensembles font une bijection entre eux. C’est à dire qu’il y a autant d’élément dans l’ensemble ℕ, ℤ et ℚ. Il va nommer la taille de ses ensembles Aleph 0 :
[katex]\huge{\aleph_0}[/katex]
Il se penche maintenant sur comment dénombrer l’ensemble ℝ. Il va d’abord s’intéresser à l’intervalle ]0;1[ de ℝ. Il va se rendre compte que l’intervalle est indénombrable. Pour le prouver par l’absurde, il suppose que ]0;1[ est dénombrable. Il va pour cela créer la diagonale de Cantor. La diagonale de Cantor fonctionne comme ceci : on prend une infinité de nombre dans l’intervalle ]0;1[ de ℝ.
On va prendre les chiffres qui sont dans la diagonale et on ajoute +1 à chacun des chiffres situés après la virgule. Cantor démontrera que en appliquant cette technique, le nombre écrit est forcément un nouveau nombre qui ne figure pas dans la liste.
Il remarque qu’il n’existe pas de bijection mais une surjection de l’intervalle ]0;1[ sur l’ensemble ℕ. C’est à dire qu’il y a plus d’éléments dans l’intervalle ]0;1[ que dans l’ensemble ℕ.
Il élargit ensuite le principe de la diagonale de Cantor au reste des intervalles de ℝ et en conclut qu’il existe une bijection entre chacun d’entre eux, autrement dit il existe une bijection entre l’intervalle ]0;1[ et ℝ.
Il se demande maintenant comment mesurer la taille de l’ensemble ℝ. Pour ça il démontre le théorème de Cantor :
| E | < | P(E) |
Le théorème de Cantor dit que le cardinal d’un ensemble, c’est-à-dire le nombre d’élément qu’il possède, sera toujours plus petit que le cardinal des parties de ce dit ensemble. Pour mieux comprendre prenons un exemple.
Considérons l’ensemble E={a;b}. Le cardinal de E est 2 car il possède deux éléments : a et b. Les parties de l’ensemble E sont : ∅, {a}, {b}, {a;b} (soit E). Il y a donc 4 parties de E.
Cantor découvre que pour calculer le cardinal des sous-ensembles d’un ensemble E, on met 2 puissance le cardinal de l’ensemble E. On a donc la relation suivante :
[katex]\huge{2^{E}}[/katex]
Dans ces travaux, Cantor remarque un lien entre la taille de ℕ et de ℝ. Il en arrive à cette relation :
Il en conclut que la taille de l’ensemble des réels est donc 2 puissance la taille de l’ensemble des naturels.
Cantor constate aussi une bijection entre l’ensemble ]0;1[ de ℝ et l’ensemble ]0;1[² de ℝ². Cela met en évidence une bijection entre les points de la droite et du plan, ce qui permet d’établir que la taille de l’ensemble est également .
Cantor ne s’arrête pas là et va dénombrer d’autres tailles d’ensemble, en introduisant d’autre Aleph comme , [katex] \aleph_1,\ \aleph_2,\ \aleph_{\omega}, \dots [/katex]
Ces nombres seront utilisés dans la théorie des ensembles de Zermelo.
Gabriel Daligault
