Zéro, un concept élémentaire
Aujourd’hui, je vais vous parler d’un symbole, tantôt un nombre, tantôt un chiffre, … enfin, un objet multiple dont la, ou plutôt les natures ont longtemps été débattues (et le sont encore).
Si je vous propose d’énumérer les premiers nombres entiers, vous citerez 0, 1, 2, 3, … et quand bien même vous commenceriez par 1, vous ne nierez pas l’existence du 0.
Historique du zéro
Pourtant, dans l’histoire des mathématiques, cela fait relativement peu de temps qu’il existe. Pour donner un ordre d’idées, une des premières notations du chiffre à peu près tel qu’on le connaît aujourd’hui est apparue en 200 avant J-C, utilisé par les Babyloniens… Thalès avait énoncé son théorème 4 siècles auparavant.
Ce flou dans son sens, on le doit entre autres à son étymologie : ṣĭfr, soit le vide en arabe, a donné au fil du temps zéro, et on retrouve cette notion de vide dans tous les sens qu’on peut lui donner.
Premièrement, 0 est le nombre qui traduit l’élément de quantité vide, c’est-à-dire l’élément nul : on peut le dénombrer, mais il ne donnera rien. C’est assez paradoxal, puisque c’est le premier sens en terme d’intuition qu’on lui donne, alors qu’il est le dernier à être apparu, au Ve siècle.
Ce nombre 0, il s’écrit avec un seul chiffre, le chiffre 0. Comme dit plus tôt, les Babyloniens l’utilisaient il y a 2 millénaires, mais il s’écrivait uniquement entre les autres chiffres, ni à gauche, ni à droite : le nombre 1020 utilisait donc le 0 pour le premier zéro, mais un autre symbole pour le deuxième zéro. Cependant, la première trace écrite du zéro en tant que chiffre, tel qu’on le connaît aujourd’hui, date du IVe siècle, dans le manuscrit de Bakhsahli (figure 1).
Zéro peut aussi permettre d’exprimer le vide dans le temps écoulé ; plus précisément, les mayas commençaient leur numérotation des dates et des durées par le 0, soit quand une quantité vide s’est écoulée depuis le début. Ce système d’introduction en 0, on le retrouve également dans les suites ainsi que dans les listes dans la plupart des langages de programmation : le premier indice se note 0.
Enfin, et c’est probablement d’où vient réellement son étymologie, le tout premier sens donné au zéro est apparu au IVe siècle avant J-C : il représentait initialement un ensemble vide. Désormais, ce zéro-là a été remplacé par le symbole ∅.
Un nombre à la base d’opérations élémentaires
Zéro, c’est donc un symbole à plusieurs sens. Mais, parlons du nombre, celui qui, quelque part, est à la base de tout.
Vous le savez forcément, zéro est l’élément neutre de l’addition, cela signifie que [katex]a + 0 = a[/katex] . De même, c’est l’élément absorbant de la multiplication, soit [katex]a \times 0 = 0[/katex] . Pour tous les opérateurs, l’élément absorbant ne peut être utilisé dans son opération réciproque : ici, la réciproque est le quotient, donc on ne peut pas déterminer la division par 0 (quoique, sa valeur est parfois considérée comme infinie, notamment pour calculer des limites). Au-delà de la multiplication (à commencer par l’exponentiation), 0 est toujours l’élément symétrique à droite . Notons un opérateur [katex] a * b [/katex] (« au-dessus » de la multiplication), alors on aura toujours [katex] a * 0 = 1 [/katex] , 1 étant l’élément neutre pour ces opérateurs-là.
Enfin, la notation 0 en tant que chiffre correspond au passage à une puissance supérieure dans la base qu’on utilise : on utilise tous les jours la base décimale (ou base 10), constituée de 10 de chiffres, de 0 à 9. Quand on incrémente au fur et à mesure, on arrive à un moment où les chiffres « se réinitialisent » (1 puis des 0) : cela signifie que l’on passe à 10, 100, 1000…
De l’arithmétique à la géométrie
De plus, 0 est à la fois le seul nombre positif et négatif (il est l’opposé de lui-même). Il a ainsi permis la création des nombres négatifs (bien que la soustraction existait déjà, on n’imaginait pas une quantité négative). Prenons la droite des réels (l’axe des abscisses) : si l’on considère uniquement les nombres positifs, on a une demi-droite qui va vers la droite : pour compléter la droite par une autre demi-droite allant cette fois-ci vers la gauche, le nombre 0 (extrémité de la demi-droite) va faire office de « miroir » : à un nombre positif, on va assigner son opposé en commutant simplement son signe de + à – (figure 2).
Par analogie, il est aussi le seul nombre à la fois réel et imaginaire pur (c’est-à-dire qui peut s’écrire à la fois sous la forme [katex] x, x\in \mathbb{R}[/katex] et [katex] iy, y\in \mathbb{R}[/katex]). Dans le plan complexe (qui représente les nombres [katex] x + iy, (x,y)\in \mathbb{R}^2[/katex] par les abscisses réelles [katex] x[/katex] et les ordonnées imaginaires [katex] y[/katex] ), 0 se situe à l’intersection des axes réel et imaginaire.
Ces deux propriétés combinées, le nombre 0 correspond à l’origine des repères, que ce soit des plans complexes ou des graphes fonctions…
De la même manière, la parité de zéro a longtemps fait débat : en réalité, la notion de parité étant plus ancestrale que celle de zéro, il y a eu longtemps avant que le zéro soit considéré comme un nombre pair .
0 peut aussi traduire l’orthogonalité entre deux vecteurs (ou des segments/droites qui les portent), car le produit scalaire [katex] \vec{u}.\vec{v} = xx' + yy' + zz'[/katex] s’ est annulé. Ainsi, [katex] \vec{u}.\vec{v} = 0 \Leftrightarrow \vec{u} \perp\vec{v}[/katex].
Enfin, quand on assimile une droite à 1 dimension (un point peut se déplacer soit à gauche soit à droite), un plan à 2 dimensions (gauche/droite et haut/bas), un espace à 3 dimensions (gauche/droite, haut/bas et avant/arrière), on en déduit que la dimension d’un point est 0.
L’avenir du zéro
Ce qui est assez paradoxal avec le nombre 0, c’est qu’il est en quelque sorte le nombre le plus important des mathématiques avec 1 (quantité vide et quantité élémentaire), et pourtant il n’est apparu que très tard, sous des formes éloignées de son sens actuel, et cela nous fait dire que de nouvelles significations apparaîtront probablement par la suite.
Thibauld Scelles
